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piko - 07/2/17(土) 4:50 - |
ガリレイ変換がどのようなものかを理解するために次のような例を考える。
西向きに時速 30 km ではしっている電車にピッチングマシーンとそれを操作する人（A とする）が電車上の同じ場所にとどまって乗っている。また電車の外に立っている人（B とする）がいる。ここで西向きを x 軸、鉛直方向上向きを z 軸、これらに垂直な向き（ここでは右手系を採用することにするので北向き）を y 軸にとる。
時刻 t = 0 に A がいた位置を原点ととることにする。大地に固定された慣性系（すなわちBの視点）から見ると A の位置は t = 0 では x = 0, y = 0, z = 0 であり、任意の時刻においては
である。一方電車とともに移動する慣性系から見ると A はずっと動かないから A の座標は恒等的に x' = 0, y' = 0, z' = 0である。
さてここで具体例として A がピッチングマシーンを時速 100 km の設定にして電車の進行方向にボールを発射したとする。A の視点から見ると A 自身は電車の中の一所にとどまっておりボールは時速 100 km で西向きに飛んでいったように見える。しかしここで大地に固定された慣性系（すなわちBの視点）からこの現象を見るとどうなるだろう。ボールはピッチングマシーンの設定速度 100 km に電車の速度 30 km をくわえた 130 km で西向きに飛んでいるように見えるのでは有るまいか?
以上の記述はガリレイ変換が成立する場合には正しい。上記のような状況では実際の観測結果とガリレオ変換の主張は一致するであろう。相対論的な効果によるずれはこの場合非常にわずかであり、空気抵抗・万有引力その他の外乱要因よりもはるかに小さいためどんなに精密な測定をしても検出することは不可能である。
しかし、より速い速度では相対論的効果によるずれがより大きくなり観測にもかかる。一般的に相対論的効果があらわに現れるのは光速の 10% よりも早い場合だといわれている。
[編集] ガリレイの相対性原理
一般に相対性原理というとアインシュタインのものが有名であるが、相対性原理は他にもある。それはガリレイ変換と関係のあるガリレオの相対性原理である。
相対性原理とはどのような慣性系においても同じ物理法則が成り立つという主張である。ガリレイの相対性原理はガリレイ変換によって変換するあらゆる慣性系において物理法則が不変であるという主張である。
ニュートン力学の運動方程式（のベクトル表現）
には座標の二回微分（=速度の一回微分つまり加速度。式中における ）しかでてこないので、ガリレイ変換をしても運動方程式には影響しない。つまりガリレイ変換に対して式の形が変わらない。このようなことをさして「ニュートン力学はガリレイ変換に関して共変な理論である」という。ニュートン力学はガリレイの相対性原理の要請を満たす。
しかし電磁気学のマクスウェルの方程式は光速度をあらわに含むのでガリレイ変換に対して普遍ではない（光速度に定数を足すと式の形が変わってしまう）。したがって電磁気学はガリレイ変換に対して共変ではない。電磁気学はガリレイの相対性原理の要請を満たさない。
このことから電磁気学が共変になるような変換であるローレンツ変換が考え出され、ローレンツ変換によって変換するあらゆる慣性系で物理法則が不変であるというアインシュタインの特殊相対性原理から特殊相対性理論が生み出された。
西向きに時速 30 km ではしっている電車にピッチングマシーンとそれを操作する人（A とする）が電車上の同じ場所にとどまって乗っている。また電車の外に立っている人（B とする）がいる。ここで西向きを x 軸、鉛直方向上向きを z 軸、これらに垂直な向き（ここでは右手系を採用することにするので北向き）を y 軸にとる。
時刻 t = 0 に A がいた位置を原点ととることにする。大地に固定された慣性系（すなわちBの視点）から見ると A の位置は t = 0 では x = 0, y = 0, z = 0 であり、任意の時刻においては
である。一方電車とともに移動する慣性系から見ると A はずっと動かないから A の座標は恒等的に x' = 0, y' = 0, z' = 0である。
さてここで具体例として A がピッチングマシーンを時速 100 km の設定にして電車の進行方向にボールを発射したとする。A の視点から見ると A 自身は電車の中の一所にとどまっておりボールは時速 100 km で西向きに飛んでいったように見える。しかしここで大地に固定された慣性系（すなわちBの視点）からこの現象を見るとどうなるだろう。ボールはピッチングマシーンの設定速度 100 km に電車の速度 30 km をくわえた 130 km で西向きに飛んでいるように見えるのでは有るまいか?
以上の記述はガリレイ変換が成立する場合には正しい。上記のような状況では実際の観測結果とガリレオ変換の主張は一致するであろう。相対論的な効果によるずれはこの場合非常にわずかであり、空気抵抗・万有引力その他の外乱要因よりもはるかに小さいためどんなに精密な測定をしても検出することは不可能である。
しかし、より速い速度では相対論的効果によるずれがより大きくなり観測にもかかる。一般的に相対論的効果があらわに現れるのは光速の 10% よりも早い場合だといわれている。
[編集] ガリレイの相対性原理
一般に相対性原理というとアインシュタインのものが有名であるが、相対性原理は他にもある。それはガリレイ変換と関係のあるガリレオの相対性原理である。
相対性原理とはどのような慣性系においても同じ物理法則が成り立つという主張である。ガリレイの相対性原理はガリレイ変換によって変換するあらゆる慣性系において物理法則が不変であるという主張である。
ニュートン力学の運動方程式（のベクトル表現）
には座標の二回微分（=速度の一回微分つまり加速度。式中における ）しかでてこないので、ガリレイ変換をしても運動方程式には影響しない。つまりガリレイ変換に対して式の形が変わらない。このようなことをさして「ニュートン力学はガリレイ変換に関して共変な理論である」という。ニュートン力学はガリレイの相対性原理の要請を満たす。
しかし電磁気学のマクスウェルの方程式は光速度をあらわに含むのでガリレイ変換に対して普遍ではない（光速度に定数を足すと式の形が変わってしまう）。したがって電磁気学はガリレイ変換に対して共変ではない。電磁気学はガリレイの相対性原理の要請を満たさない。
このことから電磁気学が共変になるような変換であるローレンツ変換が考え出され、ローレンツ変換によって変換するあらゆる慣性系で物理法則が不変であるというアインシュタインの特殊相対性原理から特殊相対性理論が生み出された。
<Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1; SV1; .NET CLR 1.0.3705; .NE...
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相対性理論 アインシュタイン 07/2/16(金) 23:17 |
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Re(1):相対性理論 お告げ 07/2/16(金) 23:22 |
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Re(2):相対性理論 ルシフェル 07/2/16(金) 23:31 |
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Re(3):相対性理論 お告げ 07/2/16(金) 23:57 |
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Re(1):相対性理論 piko 07/2/17(土) 4:50 | ≪ |
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Re(2):相対性理論 ゴールトバハ 07/2/17(土) 17:52 |
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Re(2):相対性理論 通りすがり 07/2/18(日) 3:43 |